Distributions continues univariées  et bivariées    
Distributions  univariées  Distributions  bivariées
Chapitre 2 Chapitre3


      Dans ce chapitre nous nous intéressons aux distributions (fonctions de répartition) des variables et des couples  de variables aléatoires absolument continues. Dans chacune des deux parties composant le  chapitre, nous  rappelons les propriétés essentielles, les prinpales caractéristiques et les familles usuelles des distributions continues. Dans la théorie bivariée, les distributions marginales et conditionnelles sont données ainsi que les propriétés liées aux couples de variables lorsque les variables  aléatoires marginales sont indépendantes
                            
1. Distributions continues univariées 
1.1. Distribution d'une variable aléatoire continue
 1.2.1. Notion de distribution  
    a) Définition 1.1. 
 On appelle fonction de distribution ou tout simplement distribution univariée  toute  fonction F définie sur   et vérifiant les propriétés  suivantes:
    i) F est non décroissante (croissante au sens large)
    ii)   
   b) Exemple: 

  Remarque:  Dans la définition ci-dessus, la notion de distribution n'est pas liée à une variable aléatoire.
 
   1.2.2
.
Variables aléatoires continues

     Soient  un espace probabilisé et X une variable aléatoire (v.a.) définie sur cet espace.
  a) Définition 1.2.
On dit que X est une variable aléatoire absolument continue (v.a.c.) si sa fonction de  répartition F  est continue et dérivable à gauche et à droite de tout point de x de  .
  La fonction dérivée f de F est dite fonction densité de probabilité de X et vérifie les
 relations:
    
Le support d' une v.a.c. X est un intervalle ou une réunion d' intervalles.
   Le résultat suivant résume les principales propriétés de la fonction densité de probabilité f d'une v.a.c. X.
 b) Propriété 1.1.   
  (f est positive)
  f est continue sur  sauf peut être en un nombre fini de points où elle admet une   limite
    finie à gauche    et une
limite  finie à droite.
  L'intégrale  est convergent et on a: =1.

         Exemple: On  vérifie (Exercice 1) que la fonction , est la densité de probabilité de  d'une v.a.c. C'est la loi  normale standard ou centrée réduite.  La représentation graphique de f est donnée par la courbe en cloche ci-dessous.

c)  Loi de probabilité d'une v.a.c
    Dans toute la suite X désigne une v.a.c. et f représente sa  fonction densité de propbabilité.

   Conséquence : i.e. que pour une v.a.c. la probabilité attachée à un point est nulle .                                       
    Exercice2
    On suppose que la durée de vie d'un individu dans une population donnée est modélisée par une    v.a.c. X  dont la fonction densité est donnée par: 
       où k est une contante positive.
    1) Déterminer la valeur de k.
    2) Calculer la probabilité qu'un individu meure entre 60 ans et 70 ans.
    3) Quelle est l'espérance de vie d'un individu dans cette population? 

   d) Propriétés d'une fonction de répartition
   La fonction de répartition F d'une variable aléatoire vérifie les conditions suivantes:
    Propriété 1.2.

   F est croissante
   F est continue et dérivable sur  sauf peut-être en un nombre fini de points où elle
       est continue à gauche et à droite.
   

      Par conséquent toute fonction de répartiton de v.a.c. est avant tout une distribution avant d'être continue et dérivable. C'est pourquoi dans tout ce cours on utilisera le terme "distribution" pour désigner la fonction de répartition d'une v.a.c  ou à une couple de v.a.c.

   1.2. Caractéristiques  d'une v.a.c     
    1.2.1. Espérance mathématique.
  On considère une v.a.c. X de fonction densité f   
        a) Définition
On appelle espérance mathématique de X le nombre réel  noté E(X)  défini par  l'intégrale  si elle est convergente.

Exemple: Pour la loi normale centrée réduite  on a : .

Conclusion: la moyenne d' une loi normale centrée réduite est nulle

Remarque: Pour certaines v.a.c. telle que la loi de Cauchy , l'espérance mathématique n'existe pas.  En effet, la fonction densité de la forme standard de cette loi étant donnée par ,  on a :  .   Le résultat suivant donne la propriété fondamentale de de l'espérance mathématique.

   b) Propriété 1.3. 
Si  est une application définie de  dans  et X une v.a.c. de  densité f. Alors la composée définit aussi une v.a.c.  Son espérance  mathématique   existe si et seulement si l'intégrale est convergente. De plus on a : 
  En particulier si  désigne une fonction affine  alors établit  que: (linéarité de l'espérance mathématique)
 
 Application: Espérance mathématique de la loi normale généralisée 
  Soit X une v.a.c. de loi normale centrée réduite de densité f. Pour des paramètres  en posant On établira plus loin que la fonction densité de Y est donnée par :   . C'est la densité de la loi normale  de paramètres  et  et on note .
Conclusion: 

   Plus généralement, dans toute la suite de ce cours le paramètre µ désignera la moyenne, l'espérance mathématique d'une loi généralisée.

   1.2.2. Variance écart type
   Si dans la propriété 1.3. si  la fonction est telle que: où l'espérance  mathématique E(X) existe, alors  le nombre  définit la variance V(X) de X, d'où la  défintion  suivante.
  a)  Défintion de la variance
  Soit X une v.a.c. de fonction densité  de probabilité f. On appelle variance de X le nombre  réel,  noté V(X) et défini par l'intégrale: si elle est convergente.
    Exemple: Par exemple pour la loi  normale centrée réduite, on a  

Conclusion: la variance d' une loi normale centrée réduite est l'unité
  b) Ecart type
   La variance est toujours positive ou nulle (car étant l' intégrale d'une fonction positive). La racine  carrée de la variance est appelée écart type de X et noté  . On a donc : .
  
Exemple: pour la loi normale centrée réduite on a 
 c) Propriétés (de la variance)
        
Propriété 1.4.        

   
Preuve  (des trois dernières des propriétés ci-dessus de la variance).

 
 Application: Variance de la loi normale généralisée 
  Soit X une loi normale centrée réduite. En posant :  on établit que : . D'où la conclusion suivante:
Conclusion: 

Plus généralement dans toute la suite du cours le paramètre  désigne l'écart type d'une loi généralisée.
  1.2.3. Fonction caractéristique
   Si dans la propriété 1.3.   désigne la fonction complexe paramétrique: alors le nombre définit la fonction caractéristique de X, définie dans .
  a) Définition
  Soit X une v.a.c. de fonction densité  de probabilité f. On appelle fonction caractéristique de X  la fonction  définie de  dans   par  si l'intégrale est convergente.
 Application: fonction caractéristique de la loi normale généralisée 
Le résultat suivant donne l'expression de la fonction caractéristique de la loi normale généralisée. Sa démonstration est faite à titre d'exercice.
Propriété 1.5. :  Si  
   Preuve de la propriété.

   1.2.4. Fonction génératrice des moments
 Si  dans la propriété 1.3. désigne la fonction paramétrique  alors le  nombre   définit la fonction génératrice des moments GX de X, définie de ]-1,1[ dans ℝ par: si l'intégrale est convergente.
    Exemple:  Un calcul similaire à la démonstration précédente permet de donner la propriété suivante :
Propriété 1.6. : 

  1.3. Familles uselles des distributions univariées       
     Dans cette section nous présentons les principales lois de probabilité à travers leur fonction densité de  probabilité ou leur distribution (fonction de répartition). Certaines d'entre ces lois, telles que les lois  normales ( la normale et la log-normale) n'ont pas de forme analytique explicite pour la distribution.  Par ailleurs, certaines familles de distributions sont données sous la formes généralisées de paramètres  (paramètres de position et d'échelle respectivement ), les formes standard pouvant se déduire  en posant  .  Des graphiques donnent, pour certaines valeurs des  paramètres, les allures de la fonction densité de probabilité. La loi normale fait l'objet d'un développement plus approfondi vu le rôle que joue cette distribution  tant dans la pratique que dans la théorie des probabilités.
1.3.1. Les principales familles de lois univariées
Nous donnons, dans cette section les principales distributions continues univariées à travers leurs distributions  et leurs caractéristiques essentielles (moyenne et variance )
  La distribution Gamma

      pour plus de détail
    
  La distribution Bêta
 
         
pour plus de détail     

  La distribution normale ou de Gauss-Laplace
   
          pour plus de détail
    La distribution Log-normale

  pour plus de détail
   
  La distribution uniforme
 
pour plus de détail
   
     La distribution logistique

     pour plus de détail

  1.3.2. Cas particulier : la loi normale ou loi de Laplace -Gauss.
    Nous développons particulièrement la loi normale du fait que cette loi est l'une des plus utilisées en probabilité. On parle de loi normale lorsque l'on a affaire à une variable aléatoire continue dépendant d'un grand nombre  de causes indépendantes dont les effets s'additionnent et dont aucune n'est prépondérante. Cette loi acquiert  sa forme définitive avec Gauss (en 1809) et Laplace (en 1812). C'est pourquoi elle porte également les noms  de  loi de Gauss et loi de Laplace-Gauss
  Loi normale centrée réduite
     a) Définition     
  Une variable aléatoire absolument continue X suit une loi normale centrée réduite si sa fonction  densité de probabilité f est telle que:  .  
           La courbe représentative de la densité est la courbe en cloche.

 b) Fonction de répartion
On note  généralement   la fonction de répartion de la loi N(0,1) et on a   Il n'existe pas une forme d'expression classique  pour la
fonction  qui devient elle-même une fonction usuelle, importante et incontournable pour quiconque pratique  le calcul des probabilités ou des statistiques.
     Propriétés de la fonction
  Outre les propriétés d'une fonction de répartition, la fonction   vérifie les propriétés suivantes     
 
   Approximations  et valeurs de
    Il n'existe pas d'expression explicite pour la fonction mais on fait appel à des méthodes numériques pour faire  un calcul approché de l'intégrale. Par exemple, une approximation grâce à un développement en série de Taylor à  l'ordre 5 autour de 0 permet d'établir que : , approximation performante  pour | x | < 2. Ces calculs permettent d'avoir des valeurs approximatives de , lesquelles valeurs sont consignées  dans la table statistique de cette loi.
 Loi normale généralisée
  a) Définition       
  Une v.a.c. X suit une loi normale de paramètres  si sa fonction densité est
    donnée par:  
    La notation   est de plus en plus privilégiée pour être en adéquation avec la notation habituelle de la  loi multinormale ( définie sur ℝⁿ).
  • Le paramètre µ représente la moyenne, il détermine la position  de la courbe, l'axe x = µ étant un axe  de symétrie.
  • désigne l'écart type, il détermine l'échelle, la dispersion des valeurs autour de la moyenne.
 b) Réduction d'une loi normale généralisée
 Si X suit une loi normale  alors on établit que la variable aléatoire  suit la loi normale N(0,1).
    En effet:

 c) Application au calcul des probabilités   

 d) Approximation normale d'une loi binomiale
     
Remarque : La condition d'approximation ci-dessus équivaut à :
                 
Remarque : Il ne faut pas confondre la loi de Gauss-Laplace ou loi normale avec la loi de laplace.
   En effet,  une variable suit une loi de Laplace de paramètres  si la forme généralisée de sa  fonction  densité est du type :


                                                   .
    1.4. Transformations de variables aléatoires  
         Dans la pratique on est souvent amené à manipuler des variables aléatoires qui sont des transformations  ou des combinaisons de variables aléatoires connues. Dans cette section nous rappelons certaines règles de passage d'une loi à une autre, pour des transformations simples.
    1.4.1. Le théorème fondamental 
     Théorème1.1.

  1.4.2. Quelques applications du  théorème fondamental  
     Loi normale uniforme
      Propriété 

Pour toute v.a. c. X de distribution F, la variable Y=F(X) suit une loi  uniforme
      sur l'intervalle unité  I=[0,1].
En effet,

   Loi de Cauchy
 
Propriété 
    En effet,
   
       
     Loi Log-normale
   
Propriété 
         En effet,
   
             
     Loi de Khi-deux
   
Propriété 
     2. Distributions continues bivariées  
 Comme dans la théorie univariée le terme "distribution bivariée" sera associé  à la fonction de répartition d'un couple de variables aléatoires continues (X,Y).
2.1. Distribution d'un couple aléatoire
2.1.1. Distributions bivariées
    Définition
  
  
   Exemple
    
    Conséquence de la définition


 2.1.2. 
 Couple de variables aléatoires continues
   Soit 
unespace probabilisé.
 Définition
  
       Le couple aléatoire est  dit continu si la fonction de répartition H associée est continue   et possède une dérivée partielle d'ordre deux  sauf peut-être en   certains points dont l'ensemble est de dimension inférieure à deux.
    Le résultat suivant permet de faire une caractérisation d'un couple de variables aléatoires.
Théorème
Ainsi, grâce à ce théorème, vérifier que  X=(X1,X2) est un couple de v.a. revient établir que chacune des composantes  X1et X2 est une variable aléatoire.
2.1.3.  Fonction de répartition d'un couple aléatoire
  Définition
  
        Elle vérifie les propriétés suivantes:
 

         Comme dans le cas univarié, la fonction de répartition d'un couple de v.a. vérifie toutes les conditions d'une  fonctions de distribution bivariée. C'est pourquoi, comme en dimension 1, le terme " distribution bivariée" sera associé à la fonction de répartition d'une de variables aléatoires 
   
L'inégalité du rectangle d'une distribution
   
  
  Propriétés de la fonction densité d'un couple aléatoire


    La propriété (a) est une conséquence de la 2-croissance de la distribution H.

 
Remarque   Contrairement à la densité univariée, une densité conjointe peut-être discontinue voire même infinie en certains  points.

 2.2. Caractéristiques d'un couple aléatoire   
   Soient X et Y deux variables aléatoires continues définies sur le même espace probabilisé. On note H et h leur distribution et fonction densité conointes respectivement.
 
2.2.1. Espérance mathématique
 
Définition
  
  Propriété fondamentale

    
2.2.2. Covariance
  
Définition
  
Ces suivants résultats donnent  les premières propriétés de la covariance.
 
Propriété
 Remarque :  Contrairement à la variance la covariance peut être négative et Cov(X,Y)=Cov(Y,X).  Le résultat suivant établit une relation entre la variance de la somme de 2 v.a. indépendantes et leur covariance
  Propriété:  

Matrice de variance covariance
    Soit (X,Y) un couple aléatoire admettant une covariance cov(X,Y).
  Définition: On apelle matrice de variance-covariance la matrice carrée symétrique  
                     

 Autre caractéristique: le coefficient de corrélation
    Soit (X,Y) un couple aléatoire admettant une covariance.
 
Définition
  

Propriété:
    En effet:
   
2.3. Distributions marginales - Distributions conditionnelles   
2.3.1. Distributions marginales


    2.3.2. Distributions conditionnelles

2.4. Variables indépendantes
Définition
  
 On considère deux fonctions numériques f1 et  f2   
Proposition
Conséquences
    


    Le résultat suivant donne une condition nécéssaire et suffisante de l'indépendance de deux v.a. X et Y.
Proposition

   2.5. Quelques exemples de distributions bivariées  
  Comme dans la théorie univariée, nous nous attarderons sur la distribution normale bivariée compte tenu de son importance en probabilité.
 2.5.1. La distributions binormale  ou normale bivariée
    La distribution normale multivariée est de loin la plus utilisée dans les applications de modélisaton classiques qui font souvent appel explicitement à l'hypothèse de multinormalité des distributions  rencontrées. Lorsque seulement deux variables sont concernées, la distribution normale multivariée prend le nom de distribution normale bivariée, ou binormale. Par exemple, la distribution conjointe  de la taille et du poids des individus dans une population relativement homogène est approximativement binormale. Il est utile de s'étaler sur cette loi pour au moins deux raisons :
- La distribution normale bivariée est très souvent rencontrée en pratique, et les équations la  décrivant sont suffisamment simples pour être alors préférées aux équations, plus complexes, décrivant la distribution  normale multivariée générale.
-  
 Sur le plan pédagogique, elle offre deux avantages considérables :
    *  Tous les résultats s'y rapportant peuvent être aisément visualisés.

   *  Les équations décrivant ses propriétés sont certes plus complexes que celles relatives à la
 distribution normale univariée, mais sont encore aisément manipulables.
La distribution binormale offre donc la possibilité d'introduire "en douceur" l'algèbre linéaire, en établissant des résultats d'abord sous la forme habituelle d'équations "ordinaires", puis en exprimant ces résultats sous forme matricielle.
  a)  La distribution binormale standard
   
Définition
   Un couple  (X,Y) de v.a. est distribué suivant la loi binormale généralisée de coefficient de  corrélation  si sa fonction densité conjointe est donnée par:
                   
 
 
Caractérisation des distributions marginales
On dit que deux variables aléatoires X et Y suivent une loi normale bivariée  standardisée de corrélation    où X et Z sont deux variables aléatoires gaussiennes standardisées et indépendantes.  On déduit de l'additivité des lois normales que la loi marginales de Y est aussi une loi normale standardisée.
  Exercice 3

 
b) La distribution binormale généralisée
   
Définition
  
  Distributions mariginales
    On établit que les distributions marginales X et Y suivent les lois normales respectives
    
    Application





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