Copules des valeurs extrêmes bivariées
Chapitre1 Chapitre2 Généralités Copules et variables 
aléatoires		 Familles usuelles paramètriques Copules BEV Mesures de dépendance
             

            Ce chapitre est consacré à la théorie des copules de façon générale et aux copules des valeurs extrêmes bivariées en  particulier.  Dans la première section nous  présentons d'abord les copules bivariées ainsi que leurs propriétés élémentaires avant d'établir, dans la section 2,  le lien entre ces copules et les variables aléatoires via le théorème de Sklar. Les   familles paramétriques  usuelles des copules bivariées sont données dans la section 3. Les sections 4 et 5 traitent   respectivement des copules  des valeurs extrêmes et des notions  de concordance et  à travers des mesures de concordance telles que le tau de 
Kendall et le rho de Spearman. 

1.Généralités sur les copules bivariées   

 Les copules constituent un outil statistique qui présente de nombreux avantages, tant pour les statisticiens que pour les financiers. Outre une grande souplesse dans la mise en oeuvre de l'analyse multivariée, les copules autorisent une  sélection plus étendue des distributions conjointes des séries financières.  Les fonctions copules permettent une représentation moins naïve de la dépendance statistique en finance fondée sur la mesure traditionnelle de corrélation qui présente des limites dans l'étude de l'interdépendance entre deux variable (cf. Embrechts et al. (1999)). En outre, elles autorisent des distributions de probabilités jointes moins restrictives, prenant  mieux en compte certains faits en finance (leptokurticité, asymétrie, dépendance des queues ). Elles permettent la construction de distributions multidimensionnelles assez générales et ce, indépendamment des lois des marginales qui peuvent avoir des lois différentes et quelconques. Par conséquent, elles permettent de s'affranchir de certaines hypothèses peu réalistes faites dans les études empiriques.   
        Par ailleurs, l'approche par les copules a beaucoup contribué  dans l'analyse, dans la modélisation statistique    multivariée. En effet, la théorie des copules permet une décomposition de la loi multidimensionnelle en ses marginales  univariées et en une fonction de dépendance, rendant possibles des extensions naturelles de certains résultats obtenus dans  le cas univarié au cas multivarié. Les distributions multidimensionnelles ainsi obtenues sont davantage en adéquation avec la  réalité surtout dans l'utlisation financière des statistiques. Par souci de simplicité et du fait que la théorie multivariée est une  extension du cas bivarié nous nous limiterons à la théorie bivariée des couples
1.1. Définition d'une copule bivariée 
  Dans tout ce qui suit I désignera l'intervalle unité I=[0,1].   
     Définition 1.1. 
  On appelle copule bivariée toute fonction C définie de I²=[0,1]² dans I vérifiant les  propriétés   suivantes:
     Remarques
     On établira par la suite le lien entre les  propriété i) et ii)  ci-dessus et les propriétés i) et ii)  de la définition1.3. d'une distribution bivariée.
     La propriété (i) traduit, en particulier, que toute copule est une distribution dont les distributions marginales sont  de loi uniforme définie sur I=[0,1]. En effet en
      considérant le vecteur aléatoire U=(U1,U2) où  U1 et U2 sont deux variables aléatoires uniformes sur  I=[0,1] alors on a: .
    La propriete (ii) est la 2-croissance ou inégalité du rectangle de la distribution C. Elle traduit le fait que si C  admet une densité c(u,v) alors elle est positive,
   
    Exemples de copules
     définit une copule.
    En effet :
.
    De la même façon on établit que les fonctions: définissent  aussi des copules.  M,W et  sont des copules usuelles.
    Les résultats suivants donnent les propriétés immédiates d'une copule bivariée.

1.2. Propriétés immédiates des copules 
   Théorème 3.1.(Bornes de Fréchet):      
 En effet :
 
    Les copules W et M sont appelées borne inférieure (respectivement borne supérieure) de Fréchet-Hoeffding ou  copule minimale (respectivement copule maximale). Elles sont aussi notée respectivement C- et C+
 Conséquence du théorème3.1:  
    Le résulat suivant montre, via la condition de Lipstchiz, que toute copule est absolument continue.
  Théorème 3.2.(Continuité d'une copule)

                                                           
2. Copules et variables aléatoires 
       Un des problèmes  auxquels les statisticiens se sont intéressés dans les années 50 est l'étude de la relation entre  une   distribution multivariée et les distributions marginales d'ordre inférieur (d'ordre 1 ou supérieur à 1).  En 1959 Abel Sklar  apporte une solution partielle à ce problème pour les distributions  marginales univariées. Par un  théorème qui porte son nom, Sklar établit que si H est une distribution conjointe de distributions  marginales F(x) et G(y)  alors il existe une copule C telle que: Etant donné qu'une fonction de répartition  est d'abord une distribution avant d'être continue à droite et à gauche nous  donnons ici le théorème de Sklar dans sa version probabiliste.  
2.1. Le théorème de Sklar et ses applications
    L'outil fondamental de la théorie des copules est le théorème de Sklar. Il établit le lien entre la définition  formelle  ci-dessus des copules et les variables aléatoires, permettant ainsi l'application  des copules dans la modélisation statistique.
 2.1.1.  Le théorème de Sklar 
  Théorème 3.3.
 Soit H une distribution bivariée dont les dsitributions marginales sont F et G.  Il existe une copule  bivariée
     C  telle que :                            (3.1)
   Si les distributions  marginales F et G  sont continues alors  la copule C est unique, sinon elle est  déterminée
     de manière  unique sur (ImF)x(ImG). 
 Réciproquement si C est une copule et F et G des distribution uinvariées  alors la fonction H définie par
   (3.1)  est la distribution conjointe dont les marges sont F et G.  
    Ce théorème permet d'associer à chaque distribution bidimensionnelle une copule. La relation (3.1) donne une représentation canonique de la distribution H en mettant en présence  d'une part les marges F1 et F2  des directions  unidimensionnelles  et  d'autre part la copule qui permet de "cimenter" ces marges.  Si la distribution bivariée H est absolument continue, alors elle admet une densité où c(u,v)  est la densité de la copule C. La copule C est  dite copule des variables aléatoires X et Y ou copule de la distribution    H. On la note CXY  ou CH .
  2.1.2. Application à la construction des copules.
    Soient X et Y deux variables aléatoires de distributions respectives F et G supposées strictement monotones. On peut, à partir de leur distribution conjointe H, construire la copule associée aux deux variables X et Y.  Introduisons, pour ce faire,  la définition suivante pour généraliser cette construction aux distributions pas  nécéssairement strictement  monontones.
   a) Définition 1.2. (définition de la pseudo-inverse ou l'inverse généralisée)
  
 Remarque:
  Si la fonction F est strictement croissante alors la notion de pseudo-inverse coïncide avec la notion d'inverse ou de réciproque i.e. . En utilisant la notion de pseudo-inverse dans le théorème  de Sklar on obtient le résultat suivant.
   b) Corrolaire 3.1.
      
  Le corrolaire 3 donne ainsi une procédure de construction d' une copule associée à un couple de variables       aléatoires connaissant la distribution conjointe et les distributions marginales continues.
c) Exemples de construction de copules
  La copule de Galambos
  Autre exemple de copule

 
  la copule copule normale
 
 

    2.1.3. Application à la modélisation multivariée des distributions.

    Le corrolaire précédent signifie d'autre part que si H est une distribution bivariée continue de distributions  marginales F et  G dont les inverses sont   et  alors la fonction C définie telle que:   est l'unique copule vérifiant la représentation canonique de H.  En effet l'unicité résulte des propriétés suivantes: 

  Propriété
  i) Si X est une v.a.c.de distribution F alors la variable Y=F(X) est de loi uniforme(lien) U[0,1].
    ii) Si F est une distribution continue d'inverse   et X une v.a.c. telle que:
        alors     
   Conséquence:
 
Conclusion
 

 Exercice 1
 Remarque: Certains auteurs définissent la copule comme une distribution uniforme.

   Ainsi, le théorème de Sklar fait des copules un outil  " puissant" de l'analyse multivariée car elles permettent de   construire des modèles de distributions multivariées compatibles avec  les modèles marginaux unidimensionnels  (puisqu'on part de ces  marges), laquelle compatibilité est souvent très importante dans la modélisation financière (modèles d'estimation de la valeur à risque).
    Par ailleurs les copules permettent de résoudre un autre problème: l'élaboration des modèles non gaussiens.  En effet il est très difficile de construire des modèles non 
gaussiens. La famille des distributions non gaussiennes  est non seulement réduite mais pésente l'inconvénient que les marges sont identiques. Or avec les copules on peut  
 construire par exemple une distribution avec une marge gaussienne et une marge uniforme ou une inverse gaussienne et une Beta. 
   Exemples de construction de distributions

 2.2. Le Propriétés fondamentales des copules   

 Comme l'a souligné Fisher dans "Encyclopedia Statistical Sciences" les copules sont d'un grand intérêt  pour le statisticien pour deux raisons principales: d'une part elles permettent de construire des familles de distributions  multivariées à partir des distributions marginales univariées données ( théorème de Sklar) et  d'autre part elles constituent un outil  de mesure de dépendance entre distributions univariées tout en restant  invariantes sous des  transformations strictement monotones de celles-ci.  les résultat suivant résument les  propriétés fondamentales des copules.
    Théorème3.4 (caractérisation de la copule indépendante)
   En effet:
     
    En utilisant le théorème fondamental dans  les transformations de va.c.(théorème1.1) on établit le  résultat suivant.
     Théorème3.5 
 S oient deux v.a.c. X et Y de copule associée CXY . Si   et  et G sont des fonctions strictement
         croissantes   sur Im(X) et Im(Y) respectivement alors on a:
   Ce théorème revèle une propriétés importante de l'outil copule: elle reste invariante sous des transformations  strictement croissantes de ses distributions marginales.
    Preuve

  
    Par exemple, la copule de la distribution lognormale est la même que celle de la loi  normale (en effet la  première estune transformation strictement croissante (y=logx) de   la seconde).Plus généralement en utlisant  le théorème fondamental de transformations de  couples de v.a.c. (théorème 2.1. ) et dans le cas où une  des transformations est strictement décroissante on a le résultat suivant.              
   Théorème 3.6      


 2.3. Copules associées à une copule
  2.2.1. La copule de survie
   Soit X une variable aléatoire de distribution F. On note  la fonction de survie associée à F i.e.. Par exemple si la v.a.c.X modélise la durée de vie d'un individu au sein d'une  population alors (x) est la probabilité que l'individu vive ou survive au délà du temps x. De même, on peut associer  à la distribution conjointe H d'un couple de variables aléatoires (X,Y) une distribution  de
 
   Problème: Comment H s'exprime en fonction de ses marges?
    
  Remarque
    
  

 2.2.2. La copule duale
      

2.2.3. La co-copule
   

 2.2.4. La copule mixte
    ∙

  Conclusion


3.Familles paramétriques de copules usuelles bivariées 

    Nous exposons dans la présente section les principales copules paramétriques. Ces copules présentent un intérêt  particulier dans la gestion des risques (modélisation financière), de par le fait qu'elles autorisent la construction de   modèles paramétriques ou semi-paramétriques.
3.1. Les copules usuelles

3.2. Les copules elliptiques 
3.2.1. Caractérisation 
   Définition
 On appelle copule élliptique toute copule de la forme 
 où 
 est la  distribution  conjointe des variables X et Y, les fonctions quantiles
  respectives et  leur    coefficient de corrélation.

    3.2.2. Copules élliptiques classiques.
    a)  La Copule normale bivariée
    Tout comme les distributions normale et  binormale, un des types de copules  beaucoup utilisées dans la  modélisation  financière est la copule normale bivariée. Si X et Y sont deux variables normales standard de corrélation  leur copule   est donnée par:  est la fonction quantile de la loi  normale standard  N(0,1)

   b) La Copule de Student
   Soit  une matrice diagonale définie positive avec diag ,  la distribution de Student  bivariée standard à    degrés de liberté et matrice de corrélation . La copule de Student associée à cette distribution est alors définie de la façon suivante: est la fonction inverse de  la distribution standard de Student à    degrés de liberté.
   Remarque:  Les copules normale et de Student sont des copules symétriques et relativement simples d'utilisation du  fait que l'on  connaît bien les dsitributions auxquelles elles sont associées. Elles sont souvent appelées copules implicites car n'ayant pas de forme analytique explicite et s'exprime par conséquent en  fonction de distributions  bivariées à    eux associées par le théorème de Sklar.                  
   c)  La copule mixte normale
   C'est une combinaison convexe de deux copules normales. Soient (X1,Y1) et (X2,Y2) deux couples de variables de  copules normales  respectivement. Soit (X,Y) un couple de variables, égal à (X1,Y1) avec une probabilité  p et égal à (X2,Y2) avec une probabilité 1-p. La copule associée à (X,Y) est la copule Cp  telle que ;    est une copule élliptique 
3.3. Les copules aux valeurs extrêmes  
 Cette famille de copules fait l'objet de plus de développement dans l'avant-dernière section de ce chapitre.   
   3.3.1. Caractérisation
    Par la suite on tentera de justifier l'appelation de ces copules en établissant l'existence un lien entre la caractérisation ci-dessus et la théorie des valeurs extrêmes bivariées.  
  3.3.2. Exemple
    Considérons la copule: ( Copule de Galambos)

    donc est une copule bivariée de valeurs extrêmes notée BEV.  
3.4. Les copules Archimédiennes et Archimax    
3.4.1. Copules archimédiennes
    a) Caractérisation
       Définition  
       La théorie des copules archimédienne a été introduite et développée par le professeur Christian Genest   de l'université   de Laval au Québec.
      b) Familles classiques de copules archimédiennes 
       Exemple
       
    Le tableau suivant donne quelques familles classiques de copules archimédiennes                  

   







  3.4.2. La famille Archimax
   a) Caractérisation
     b) Cas particuliers

3.5. La copule empirique. 
 
 4. Copules des valeurs extrêmes bivariées  
   Pour parachever la théorie des valeurs extrêmes nous développons l'étude des copules BEV en établissant un lien entre les copules et les distributions BEV. Comme pour la théorie des distributions  nous donnons les grandes familles usuelles  de copules bivariées.
 4.1.Caractérisation d'une copule BEV
   Rappel: Une fonction C est une copule BEV si et seulement si : .
    Le terme "copule des valeurs extrêmes " suggère l'existence d'un lien entre ces copules et une distribution BEV(chapitre2). Considérons une distribution BEV H de distributions marginales respectives F et G. Le résultat  suivant établit que la copule associée à H par sa représentation canonique H(x,y)=C(F(x),G(y)) est une copule BEV
    Théorème 3.7.
  En utilisant la relation: ,  on établit l'analogue du théorème de représentation de  Pickands (chapitre2) qui  permet de caractériser  toute copule BEV au moyen de la fonction de dépendance d'une distribution BEV dont elle est sous-jacente.   
       Théorème 3.8. 

      Comme pour la distribution BEV , A est dite générateur ou fonction de dépendance de la copule .
    Exemple:  Retrouvons la fonction de dépendance associée à la copule de Galambos
 
 









4.2. Familles paramétriques usuelles des copules BEV
    Comme pour les distributions BEV, il existe essentiellement deux grandes familles de modèles  paramétriques  usuels  de copules BEV : le modèle mixte (Tawn 1988) et le modèle logistique (Gumbel 1960a). Les autres  modèles proviennent généralement d'une extension symétrique ou   asymétrique de ces deux modèles.
   Nous donnons ici quelques unes d'entre elles en adoptant les notations :    
 

  5.Les mesures de concordance   

     La copule C d'un vecteur aléatoire continue (X, Y) est une paramétrisation, une normalisation de la  distribution conjointe H après avoir éliminé les effets des marges. C'est donc une structure de dépendance   entre les deux variables aléatoires X et Y connaissant leurs distributions respectives. Cette structure permet  des estimations des différents moyens d'étudier cette dépendance à travers les mesures de concordance   (corrélation linéaire, la concordance,tau de Kendall et rho de spearman)
5.1. Fonction de concordance
5.1.1. Notion de concordance
  Définition

  Définition
    C'est la différence entre la probabilité de concordance et celle de discordance.
 Chaque distribution conjointe étant caractérisée par une copule unique par le théorème de Sklar le résultat  suivant permet d'établir une relation entre toute fonction de concordance Q et les copules associées aux deux  couples aléatoires.

    5.1.2. Propriétés de la fonction de concordance
 Théorème.3.9
 Preuve
Le résultat suivant résume les propriétés essentielles de la fonction Q.
 Corrolaire
Preuve