Aménagement des pêches artisanales
 
Chapitre 1. Démographie
Chapitre 2. Eléments de Statistiques Appliquées pour Ecologues et Aménagistes 
2.1 Sommaire 
  2.1.1 Eléments de statistiques appliquées pour écologues et aménagistes 
  2.1.2 Eléments caractéristiques d'une série statistique 
  2.1.3 Variance échantillonnale et Ecart-Type échantillonnale  
  2.1.4 Distributions de Probabilité 
  2.1.5 Echantillonnage ou Sampling 
  2.1.6 Hypothèses statistiques et Tests de signification (StatisticalHypotheses and Tests of Significance) 
  2.1.7 Méthodes d'analyses multivariées 
2.2 Objectif 
2.3 Pré-requis 
Chapitre 3. Méthodes d’estimation de la taille des populations.
Chapitre 4. Age, Croissance et Mortalité
Chapitre 5. Stock, Production, recrutement
Chapitre 6. SELECTIVITE DES FILETS
Chapitre 7. Transformation et conservation des produits de pêche
Chapitre 8. Exercices d’application
Chapitre 9. Ressources du cours
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2.1.4. Distributions de Probabilité

Une variable est dite discrète si elle peut prendre qu'un nombre fini ou dénombrable de valeurs. Une variable avec une étendue finie, ou avec pour étendue des ensembles de valeurs entières est dite discrète. Une distribution de probabilité est dite discrète si c'est une fonction de variable aléatoire discrète. 

Distribution Binomiale 

Dans une série de n essais indépendants, chacun ayant seulement deux issues  possibles (appelé "succès" et "échec"), avec la probabilité p succès et la probabilité q=1-p d'échec, la probabilité de succès en n essais est 

Figure 9:Distribution de la loi binomiale

La distribution binomiale décrit les probabilités d'évènements qui se produisent x fois sur n seulement quand la probabilité du succès reste la même d'un essai à l'autre et les épreuves sont indépendantes. Dans la pratique, pourtant, la distribution binomiale est souvent utilisée quand ces conditions sont rencontrées seulement dans un sens approximatif. Cela requière un échantillonnage issu d'une population de grande taille---pour supporter les hypothèses d'indépendance approximative. Une méthode standard qui est utilisée pour obtenir une population suffisamment grande est celle telle que chaque échantillon ne soit pas moins de cinq pourcent de la population.

Distribution de Poisson

La distribution de Poisson est applicable dans beaucoup de situations où les évènements rares se produisent, par exemple, dans l'inspection et le contrôle de qualité de produits manufacturés où la proportion d'articles défectueux dans un grand lot doit être petite. La fonction de densité de la probabilité de Poisson est une fonction discrète définie pour des entiers n non-négatifs. Pour la distribution de Poisson avec la moyenne et l'écart type >0, la probabilité est définie par

La fonction de distribution cumulative de Poisson est une fonction discrète définie pour des entiers n non-négatifs.
Pour la distribution de Poisson avec moyenne et d'écart type >0, la probabilité est définie par la sommation

Figure 9:Distribution de la loi de Poisson.

Approximation de la Distribution Binomiale

La distribution de Poisson peut être utilisée pour approximer la distribution binomiale quand p est petit et n grand; tel que

Distribution Discrète Uniforme

Une distribution discrète uniforme pour une population de taille n, satisfait

 pour des entiers 0≤x≤n; la distribution a la moyenne n/2. 

Les variables aléatoires continues et leurs distributions jouent un rôle très important en statistiques. Les distributions continues fournissent des approximations très proches des distributions de probabilité des variables discrètes et même plus important, elles fournissent les bases de la plus part des théories utilisées dans des problèmes d'estimation, de pronostique, et dans les tests d'hypothèses. La fonction de densité de probabilité d'une variable continue est une fonction de l'ensemble des nombres réels -∞≤x≤∞ dans l'intervalle 0≤p≤1 tel que le domaine (densité) sous le graphique de la fonction soit égale à 1. Nombreuses distributions de probabilité continues dépendent d'un paramètre appelé degrés de liberté. Pour un ensemble de conditions données, le nombre de degrés de liberté (souvent symbolisé par l ou ddl.) est le nombre maximal de variables qui peut librement être assigné avant que le reste des variables ne soit complètement déterminé;ainsi c'est le nombre total des variables moins le nombre des relations indépendantes existantes entre elles. 

La Distribution Normale

La famille des distributions normales se produit beaucoup plus que toute autre famille paramétrique en statistiques. Une raison pour cela est que la somme d'un grand nombre de variables aléatoires indépendantes ont approximativement une distribution normale. 

Les distributions normales sont symétriques par rapport à la moyenne. La courbe de probabilité normale est une courbe familière en forme de cloche.

Figure 10: Distribution de la normale.

La moyenne, le mode et la médiane sont égaux pour cette famille de distributions. La fonction de densité de probabilité pour la distribution normale de moyenne et d'écart type est 

Les Probabilités et les régions sous la courbe de la fonction de densité de probabilité normale de moyenne et d'écart type sont données par la fonction de distribution normale cumulative qui est définie pour tous les nombres réels et pour tout positif par l'intégrale

 

La fonction de densité normale standard et la fonction de distribution cumulative normale standard se produit quand la moyenne et l'écart type satisfont =0 et =1 réduisant les formules sous les formes 

La Distribution Normale et la Distribution Binomiale

Dans la distribution binomiale pour N échantillons de n essais chacun où la probabilité de succès dans un essai est p, si la valeur de n s'augmente, l'histogramme représentant la distribution binomiale est proche d'une courbe, appelé la courbe normale, dont l'équation est 

 

t-Distribution de Student

Dans les cas où l'écart type de la population n'est pas connu et une estimation obtenue d'un échantillon doit être utilisée, les quantités résultantes ne satisfont plus une distribution normale mais satisfont à un type différent de distribution, appelé t-distribution de Student ou Student's t-distribution d'après le statisticien qui le premier la décrite sous le pseudonyme de "Student." La t-distribution de Student est une distribution d'échantillonnage de la statistique

où m et s sont respectivement la moyenne et l'écart type d'un échantillon aléatoire de taille n d'une population qui a la moyenne et qui peut-être approximée à une courbe normale. Cette distribution est connue sous le nom de t distribution de Student, ou simplement, la t-distribution; et la statistique t est appelé t-score. Dans la t-distribution de Student, la fonction de densité de probabilité d'une quantité t est donnée par la fonction

Où n représente le nombre de degré de liberté, et c une constante dépendante de n et déterminé par la condition que le domaine total sous la courbe de probabilité soit égale à 1.

Figure 11: Distribution de la loi de Student.

La variance et l'écart type, pour la t-distribution de Student sont (n/(n-2)) et√((n/(n-2))), respectivement, fourni pour n>2. La moyenne est 0.

La constante c est

où 

                   

 pour u≥0, et est 0 ailleurs est la Gamma fonction de y. 

Chi-Square Distribution (distribution de Chi-deux)

Dans les cas où la moyenne de la population n'est pas connue et une estimation obtenue d'un échantillon doit être utilisée, la variance échantillonnale résultante satisfaite une distribution appelée distribution de chi-deux (de la lettre grecque chi). Dans distribution de chi-deux, la fonction de densité de probabilité d'une quantité non-négative

 est donnée par 

Où n représente le nombre de degré de liberté, et c une constante dépendant de n et déterminée par la condition que le domaine total sous la courbe de probabilité égale à 1.

Figure 12: Distribution de la loi de chi-deux.

La distribution de chi-deux a une moyenne égale à n, une variance égale à 2n, et un écart-type de √(2n). 

La constante c est 

où 

est la fonction Gamma de y. 

F Distribution 

Le rapport de deux variables aléatoires indépendantes de chi-deux , quand elles sont divisées par leurs degrés de liberté respective, a une distribution appelée F distribution. Dans une F distribution, la fonction de densité de probabilité d'une quantité non-négative u est donnée par

où m et n représente chacun un nombre de degré de liberté, et c est une constante qui dépend de m et de n et est déterminé par la condition que la probabilité de l'aire totale sous la courbe est égale à 1.

Figure 13: Distribution de la loi Fisher Snédécor.

La moyenne d'une F distribution est (m/(m-2)), fournie pour m>2. 

La variance est ((2m²(m+n-2))/(n(m-2)²(m-4))), fournie pour m>4. 

La constante c est 

où 

est la fonction Gamma de y.

Gamma Distribution 

La fonction densité de probabilité gamma pour la distribution gamma est définie pour u>0 par 

Les paramètres a et b sont appelés paramètre de forme et paramètre d'échelle respectivement. la moyenne de cette distribution est ab et la variance est ab².

Figure 14: Distribution de la loi Gamma.

 La distribution cumulative de Gamma est définie pour x>0 par l'intégrale

où 

 est la Gamma function de y.

Le cas où le paramètre de forme c est un entier elle est connue aussi sous le nom de distribution de Erlang. Dans ce cas, la fonction densité de probabilité et la fonction de distribution cumulative sont définies par u,x>0 par

La Distribution Uniform 

La variable aléatoire uniforme est la version continue de "choisir un nombre au hasard." Les probabilités que la variable aléatoire uniforme sur [a,b] ait une valeur dans l'une des deux sous intervalles de [a,b] d'égale longueur sont égales. La fonction de densité uniforme est donnée par

 sont des nombres réels quelconques 

Figure 15: Distribution de la loi uniforme.

Les fonctions de distribution cumulative uniformes sont données par

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